L’apologia della matematica

Posted on 17 settembre 2010 di

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Di Martino G.

Quello che rende la matematica così inaccessibile non è certo la sua inaccessibilità, supponendo che davvero la matematica sia in parte inaccessibile. Il problema è che c’è una ridicola tendenza a vedere la matematica come una materia scolastica. La persona media quando riceve uno stimolo matematico si mette in modalità “noia” e sfodera due o tre pregiudizi, precisa allo “stimolatore” (se si tratta di una persona) che lui a scuola era una frana in matematica, riesuma qualche aneddoto in merito, si fa una risata e cambia argomento. Passa e si diffonde l’idea che la matematica è fonte di inutili complicazioni mentali e soprattutto noia. Naturalmente tutto questo succede perché la matematica viene proposta a scuola in un modo essenzialmente sbagliato. Si inizia a vederci chiaro quando ci si slega dal pensiero comune che le idee vengono dall’alto e che sono universali. Le idee matematiche non sono universali, sono proposte. Non si devono accettare in base alla loro autorità, ma in base alla loro efficacia. Questo è del tutto ovvio: la matematica non è una religione. Non ci sono atti di fede, tutto ciò che viene proposto ha una utilità che ne giustifica l’esistenza. Il fatto che se sommo due numeri dispari ottengo un numero pari non è una regola! E’ un’ovvietà. Eppure molti prendono le proposizioni, i teoremi e le ovvietà matematiche come “regole”, e non se ne danno una spiegazione, tendono ad usarle nel modo più indolore, e basta. Questo ovviamente è molto grave. Si può capire che uno non ha autonomia matematica quando mette tutti gli enunciati allo stesso livello di difficoltà. Addirittura spesso si attribuisce un’elevata difficoltà ad un asserto solo perché esso si chiama “teorema”. Ci si accorge che è sbagliato misurare una cosa dal suo nome, ed è sbagliato anche credere all’esistenza di una cosa solo perché questa cosa ha un nome. Il motivo per cui si dà un nome ad una cosa astratta è solo uno: semplificare i processi mentali, favorire la creazione di una sorta di “ipertesto” mentale. Per esempio, considerate il concetto di talento, o il concetto di memoria.

Supponiamo di voler dimostrare un elenco infinito di asserzioni. Per fare questo è sufficiente dimostrare le due cose seguenti:

(a) “la prima asserzione dell’elenco è vera”;
(b) “se è vera una qualsiasi asserzione dell’elenco allora è vera la successiva”.

Questo è abbastanza ovvio: se vale (a) allora la prima asserzione è vera, ma allora per (b) è vera la seconda, quindi per (b) è vera la terza, quindi per (b) è vera la quarta, e così via.

Ebbene, questo semplicissimo principio viene spesso completamente travisato da molti. Si chiama “principio di induzione”, e viene giustamente proposto come un principio di fondamentale importanza e da capire bene. Ma il più delle volte il messaggio che passa è che si tratta di un concetto difficile. A molti non viene in mente che non è affatto difficile. Molti non sanno come usarlo, perché tendono a memorizzare il principio. Pensano di aver bisogno di memorizzare, non si accorgono che la memoria è un nome, qualcosa di cui sentono parlare e quindi credono di possedere. Non si accorgono che quello che occorre fare è capire, e capire è molto meno dispendioso e molto più utile di memorizzare.

Ping nell’anno 2549 si fa spiegare la nostra epoca dal suo professore di storia Pong. Ping e Pong passeggiano per la strada. Pong dice “nel 2000 le persone per spostarsi velocemente da un luogo all’altro usavano oggetti chiamati “macchine”, avevano un regolamento ben preciso per regolare il loro flusso, detto traffico, e lo spostamento avveniva grazie alle ruote, oggetti di forma circolare posti sotto ai veicoli che permettevano di rotolare”. Ping prende appunti scrivendo alla sua tastiera: “macchina – spostarsi velocemente – traffico – regolamento – ruote rotonde”. Pong prosegue: “Per registrare i pensieri le persone del 2000 usavano la carta, un materiale generalmente piatto e bianco ottenuto per feltrazione di fibre vegetali. Ci scrivevano sopra con oggetti chiamati penne. La scrittura in questa epoca era intesa come rappresentazione grafica di segni, attraverso un liquido chiamato inchiostro, tipicamente nero o blu, o anche di altri colori. L’inchiostro veniva inserito in oggetti chiamati comunemente “penne”, tipicamente della lunghezza media di 14 centimetri, agevolmente afferrabili con una sola mano”. Ping prende appunti scrivendo alla sua tastiera: “carta per registrare pensieri – strumento: penna – inchiostro – nero/blu – penna 14 centimetri – una sola mano”. Ping poi esce e va a trovare un amico. Gli racconta quello che ha imparato: “sai, nel 2000 le persone usavano le macchine per spostarsi”. “Quelle che usiamo per riparare gli atomi?” – “Sì, ma con delle palle sotto chiamate ruote, che permettevano di teletrasportarsi velocemente da un luogo all’altro. Poi le loro tastiere si chiamavano penne e funzionavano grazie a un liquido chiamato inchiostro”. “Delle tastiere piccole?” – “Erano lunghe circa 14 centimetri, di colore nero o blu – a dire il vero era il colore dell’inchiostro, ma non ho capito bene cosa c’entrasse il colore. Usavano una mano sola per scrivere. E usavano un materiale piatto chiamato carta vegetale”. “Come lo usavano?” – “Probabilmente lo inserivano nella penna e reagiva con l’inchiostro producendo energia elettrica”.

Lo sforzo che fa Ping per cercare di ricordare quello che ha imparato mi ricorda distintamente chi memorizza il principio di induzione senza capirlo. A dire il vero, un esempio ancora più eloquente potrebbe essere il seguente.

Ping va dal suo amico e gli dice che ha imparato a fare le somme. L’amico gli chiede quanto fa 8+12. Ping risponde che non lo sa perché il suo professore non gli ha mai spiegato la somma 8+12.

Memorizzare è del tutto inutile. Pensare il principio di induzione come una regola è un po’ come pensare la somma 8+12=20 come una formula. Non si può mettere l’ovvietà 8+12=20 sullo stesso piano di difficoltà della legge di reciprocità quadratica di Gauss.

Io penso che chiunque possa sedersi e raggruppare le idee. Domandarsi una serie di cose in un qualche ordine, classificare i propri pensieri. Non ci si aspetta colpi di scena o ribaltoni dato l’ordine così perfetto che ci si è dato, eppure qualcosa è solito arrivare.

Dopo aver consultato l’indirizzo di Giorgio sull’agenda, Laura percorre lo stradone principale e svolta a destra incamminandosi verso la sua casa. Giorgio la fa entrare, iniziano a conversare. Laura chiede a Giorgio di parlarle dei suoi figli. Giorgio dice di avere tre figli, il prodotto delle cui età è trentasei e la cui somma è uguale al numero civico della sua casa. Laura sembra entusiasta del problema ed inizia a pensarci. Ad un certo punto però afferma di non avere abbastanza elementi per risolverlo. Al che Giorgio le dice: “hai ragione, scusa, la più grande suona il pianoforte”. Laura allora con un sorriso completa il procedimento.

Potrebbe sembrare uno dei soliti problemi di noiosi calcoletti, ma non è così. Cominciamo a pensare ad una possibile risoluzione. Le terne di numeri di prodotto uguale a 36 sono (1 1 36), di somma 38, (1 2 18), di somma 21, (1 3 12), di somma 16, (1 4 9), di somma 14, (1 6 6), di somma 13, (2 2 9), di somma 13, (2 3 6), di somma 11, (3 3 4), di somma 10. Il problema quindi appare irrisolvibile: non conosciamo il numero civico della casa di Giorgio quindi non abbiamo speranze di proseguire. Ma le cose non stanno così: abbiamo semplicemente mal interpretato il problema. E una delle cose impagabili dell’architettura mentale regalata dal pensiero matematico è quella che fa nascere una nuova idea interpretativa.
L’errore che si fa in corso di lettura è il seguente: ci si identifica col solutore della storia – Laura – senza pensare che lei, a differenza di noi, conosce il numero civico, e nonostante questo non può risolvere il problema. Questo ha conseguenze decisive…

La matematica è per me una delle ragioni fondamentali per cui vale la pena vivere. Fare matematica significa scrivere su un foglio bianco con l’unico vincolo di non contraddirsi mai. Quello che mi piace provare è la scoperta che i “conti” (catene di implicazioni logiche) tornano. Il momento esatto in cui avviene mentalmente il collegamento tra la cosa che si cerca di capire e una cosa già capita è impagabile.

Cercherò di dare un semplice esempio di questo fatto. Consideriamo il seguente gioco. Ci sono due giocatori, chiamiamoli A e B. A dice un numero da 1 a 60. B replica dicendo un numero strettamente maggiore del numero detto da A ma che si distanzia da esso al più di 60 unità (vale a dire, se per esempio A dice 25 allora B può dire un numero compreso tra 26 e 85, compresi 26 e 85). A replica dicendo un numero strettamente maggiore del numero detto da B ma che si distanzia da esso al più di 60 unità, e così via. Vince il giocatore che dice il numero 1000000000 (che chiamerò “numero-vittoria”).
Superata la paura e la diffidenza iniziali, cominciamo a pensare al problema. Ci viene in mente che se riusciamo a dire il numero 999999939=1000000000-61 abbiamo vinto, dato che l’avversario dovrà replicare con un numero maggiore di 999999939 e quindi distante al più 60 unità da 1000000000, e noi potremo vincere.
E qui arriva la vera idea squisitamente matematica: abbiamo riformulato lo stesso gioco con un numero-vittoria inferiore! Questo ci fa venire in mente che se prendiamo un numero-vittoria e togliamo 61 otteniamo un altro numero-vittoria. Ma allora possiamo continuare a togliere 61 finché non otteniamo un numero compreso tra 1 e 60…

La matematica si propone di risolvere i problemi a enunciato auto-contenentesi, in altre parole “puro”. Un esempio di un tale enunciato è: “quali sono i numeri primi che si possono esprimere come somma di due quadrati perfetti?”. Nel momento in cui sia chiaro cos’è un numero primo, cosa vuol dire somma e cosa sia un quadrato perfetto l’enunciato del problema è cristallino. Ma la matematica non si esprime al massimo nel momento in cui esibisce la soluzione del problema che si è posta, è invece al suo apice totale nello sforzo di produrre idee che semplifichino tale problema. Questo stesso sforzo è l’essenza di cosa vuol dire fare matematica. Il problema originale svolge il ruolo di pretesto per poter produrre idee, e spesso se le idee prodotte sono abbastanza buone esse banalizzano il problema originale, lo implicano come caso particolare. E d’altra parte spingono a porsi altri problemi. In altre parole, la matematica è un continuo generalizzare, chiarisce i problemi particolari tramite idee esplosive generali. E va a fondo. Sa rispondere a domande come “cosa sono i numeri?”. Molti pensano che i numeri siano il punto di partenza della matematica (e anzi alcuni sono convinti che tutta la matematica ruoti intorno ai numeri), ma questo è falso. I numeri sono costruzioni che vengono fatte più tardi delle fondazioni: si possono definire! Si può dare un senso al processo di astrazione che ci porta dal pensare a due matite al pensare al concetto di “due”. Si tratta di un processo di classificazione mediante raggruppamenti. Molti bollano la matematica come “arida”, quando la matematica è fantasia allo stato puro. Fantasia senza contraddizioni.

L’immagine raffigura una porzione dell’insieme di Mandelbrot. Si tratta dell’insieme dei punti “c” del piano complesso tali che l’insieme delle iterate della relazione “z(n+1)=z(n)^2+c” a partire da z(0)=0 rimane limitato. Non scrivo questo a caso: è importante sapere che una formula matematica può generare bellezze inaspettate.

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